Una vez comprendida la diferencia entre lenguaje natural y lenguaje formal, en esta publicación aprenderemos todo lo que se necesita saber para empezar a convertir nuestras oraciones a lenguaje lógico (Leer: Lenguaje natural y lenguaje formal).

Definir las proposiciones atómicas.

Podemos definir a una proposición atómica, como una  afirmación básica y simple que no puede descomponerse en otras proposiciones más pequeñas, es importante tener en cuenta, que una proposición atómica debe de poder evaluarse entre “verdadero” y “falso”, si nuestra proposición carece de la capacidad para poder medirla de esta forma, no estamos ante una proposición atómica. De igual forma, cabe recalcar, que una proposición atómica no puede contener negaciones, recordando que la negación lógica también está considerada como un conectivo ¿Te suena difícil esto? Vamos a desglosar todo a continuación.

Lo primero que debemos de hacer para poder empezar a convertir a lenguaje lógico, es definir cuáles son nuestras proposiciones atómicas. ¿Qué quiere decir esto? Cuando en un enunciado lógico tenemos (P v [Q ↔ R]), las letras P, Q y R, están representando proposiciones atómicas, por ello, analicemos cómo llegar a ese resultado, y que significan cada una de estas letras. 

• Paso 1: Definir nuestra oración del lenguaje natural

Las oraciones que usamos en el lenguaje natural pueden estar repletas de información o contener muy poca, gracias a esto, no todas las oraciones del lenguaje natural las podemos traducir y estudiar con la misma rigidez, por lo que, mientras más completa y llena de información esté nuestra oración, será más fácil convertirla en una oración lógica.

- Oración con poca información: ¿A dónde fuiste?.

- Oración con mucha información: Ayer llegué por la noche a mi casa y mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste? por lo que no supe qué responderle.

• Paso 2: Desarmar

Lo primero que debemos de hacer para poder desarmar una oración, es buscar los conectivos lógicos que ayudan a nuestra oración a tener sentido. Siguiendo con el ejemplo anterior, ahi podemos encontrar varios conectivos, para este paso, es sumamente importante que comprendas cómo identificar conectivos lógicos en el lenguaje natural, por lo que se recomienda haber leído antes nuestras publicaciones respecto de conectivos lógicos y cómo identificarlos.

“Ayer llegué por la noche a mi casa y mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste? por lo que no supe qué responderle”, entre “ayer llegué por la noche a mi casa y mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste?”, podemos encontrar un conectivo, hay 2 ideas que se están separando con un “Y” o por el conectivo lógico “&”. Finalmente se cierra la oración con un último conectivo, “por lo que no supe qué responderle”, donde el conectivo “por lo que” ya nos está señalando causalidad, lo que nos expresa el conectivo lógico (→).

• Paso 3: Refinar 

Una vez hemos encontrado nuestros conectivos y separado la idea, ya podemos empezar a refinar nuestras proposiciones atómicas. Como se dijo inicialmente, una proposición atómica debe de poder evaluarse por “verdaderos” y “ falsos”.

Así, quitando todos los conectivos y enlistando nuestra oración, podemos obtener “Ayer llegué por la noche a mi casa”, “mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste?”, “no supe qué responderle”. En este caso, aunque hemos quitado ya nexos conectivos, nos hace falta 1 conectivo en particular, y recordando lo que se ha mencionado al inicio, las proposiciones atómicas no pueden contener negaciones, por lo que la última proposición quedará como “supe que responderle”, después nos encargaremos de su negación.

• Paso 4: Asignar símbolos

Este paso es tal vez el más fácil de todos, puesto que nuestra única labor será darle a cada una de nuestras proposiciones atómicas ya generadas, un símbolo dentro de la lógica. Comúnmente se usan las letras a partir de la P, aunque al ser meramente representativas, puedes usar cualquier símbolo o letra que no te genere una confusión, o aquellas que se te exijan por parte de un profesor. Para esta ocasión usaremos los simbolismos tradicionales (P,Q,R,S…).

El orden en el cual se le asignará una letra a las partes de una oración, comúnmente se hace respecto a su orden de aparición dentro de la oración, de modo que P será la primera proposición atómica respecto al contenido de la oración. Así obtenemos qué:

P= Ayer llegué por la noche a mi casa.
Q= Mi madre me preguntó ¿Dónde estuviste?.
R= Supe que responderle.

• Paso 5: Re armar

Para este paso, es necesario comprender qué nos está expresando nuestra oración original. “Ayer llegué por la noche a mi casa y mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste? por lo que no supe qué responderle”.

Empecemos por la primera parte, dado que ya hemos asignado símbolos a nuestra oración e identificado que conectivos lógicos corresponden a los nexos conectivos de la oración, ya podemos reconstruirla, obteniendo qué P & Q (ayer llegué por la noche a mi casa mi madre me preguntó ¿a dónde fuiste?).

Con la segunda parte de la oración “supe que responder”, si recordamos, esta se está negando en la oración original, por lo que no vamos a transcribirla como “R”, sino como “¬R”, para que pueda expresar el contenido original de nuestra oración (No supe qué responderle). De igual modo, para esta sección de la oración ya habíamos identificado su conectivo lógico, denotando que R es la consecuencia de un efecto anterior, por lo que, al unirlo a toda nuestra oración, obtenemos qué P & Q → R.

• Paso 6: Interpretar la oración

En la lógica proposicional, no pueden existir oraciones lógicas con 3 proposiciones interactuando directamente, únicamente pueden ser 2, por algo sus conectivos se les conoce como “binarios”, sólo pueden agrupar a 2 símbolos, por lo que la expresión “P & Q → R”, está incompleta. Es por esto que debemos agruparlos. Para hacer esto hay que tomar en cuenta que el contenido dentro de un paréntesis, también se considera como un símbolo lógico.

La oración inicial nos dice que, tras llegar noche a casa, la mamá de nuestro hipotético sujeto, le cuestionó sobre dónde estuvo, y a eso, él no supo qué responder, por lo que, pareciera que el hecho de que no supiera qué responder, es la consecuencia directa de que llegó tarde y le preguntaron sobre dónde estaba, de ser el caso, significa que ¬R es la consecuencia de todo lo demás, por lo que, lo anterior a ¬R tendrá que ir agrupado en un paréntesis.

-  ((P & Q) → R)

Por otra parte, si quisiéramos expresar, que el no saber qué responder, es la consecuencia de la pregunta sobre dónde estuvo, pero no es consecuencia de que haya llegado noche, la estructura de la oración lógica cambia, expresándonos que nuestro sujeto llegó noche a casa, a parte, le preguntaron sobre dónde estuvo, a lo cual no supo qué responder. obteniendo lo siguiente.

- (P & (Q → R))

¿A ti qué interpretación te hace más sentido?

Dudas comunes

¿Por qué no pueden haber 3 proposiciones dentro del mismo paréntesis? Ej: (P v Q v R)

• Este tipo de escenarios en el lenguaje natural si se pueden dar, no todas las cosas se deben de reducir a 2 opciones, en cambio, el estudio de la lógica proposicional siempre se trabajará de manera binaria para poder desarrollar los argumentos en tablas de verdad, en el ejemplo ( P v Q v R), el valor de verdad general no se puede obtener, por lo que, para evaluarlo, se opta por usar opciones como la siguiente: (P v (Q v R)) o ((P v Q) v R)

¿Por qué no se separan en dos proposiciones diferentes “mi madre me preguntó” y “¿dónde estabas?” en cambio se quedan juntas?.

• Estas quedan juntas debido a que no están separadas por algún nexo conectivo, a pesar de que se podrían separar por símbolos como los dos puntos, el símbolo de interrogación no está separando las ideas, en lógica proposicional no puedes separar una idea sin un nexo o un contexto que separe ambas ideas, de igual modo, si quisiéramos buscar un conectivo entre las 2 oraciones, nos daríamos cuenta que ninguno encaja ni conserva el mensaje.

Si en la lógica es importante interpretar el mensaje ¿si obtengo 2 fórmulas lógicas diferentes de la misma oración, es correcto o incorrecto?.

• Eso dependerá mucho de qué tan ambigua es la oración, mientras más ambiguo sea nuestro mensaje, será más fácil que obtengamos muchas interpretaciones de la misma oración. Es por esto, que la labor de interpretación no consiste únicamente en dar opciones de cómo traducir el mensaje, sino comprender bien acerca de qué se nos está expresando en la idea, mientras menos ambiguo sea una oración, más fácil es traducirla sin errores.

¿Por qué si los conectivos son binarios, pueden quedar letras solas fuera de un paréntesis? Ej: (P & (Q → ¬R)) donde la P queda separada, y “&” no tiene una letra siguiente.

• La organización de los paréntesis en la lógica es absolutamente igual a la que usa el sistema matemático, todo lo que está dentro de un paréntesis es equivalente a un carácter a parte. Si en algún momento dudas de si has colocado correctamente los símbolos o los paréntesis, no dudes en cambiar las letras por números, y los conectivos por símbolos matemáticos. Por lo que en vez de tener (P & (Q → R)), tendrías (8+ (5-2)), una cuenta que tiene sentido, donde podemos apreciar que el “+” está sumando a 8 con todo lo que hay dentro del paréntesis; siguiendo este ejemplo, podrás apreciar que en las matemáticas no tiene sentido la siguiente cuenta: (8 +(5- 2 -)). Esto solo aplica para la visualización de los símbolos y los paréntesis.
   

Aviso: Esta publicación está completamente dedicada a la lógica proposicional, aunque su uso se puede extender a lógicas como “Lógica de primer orden”, aquí no se abarcaran conceptos que son propios de dicha lógica.