Una derivación lógica es un proceso ordenado y paso a paso mediante el cual se llega a una conclusión partiendo de una o varias premisas, usando únicamente reglas válidas de inferencia.
Es como una especie de "camino razonado" que permite justificar claramente cómo es que llegamos a una conclusión, sin dejar espacio a la intuición o al capricho, sino mostrando cada paso lógico que valida el razonamiento.
Cuando ves una derivación lógica escrita, es normal que parezca como si fuera una lista de ecuaciones o pasos matemáticos, pero en realidad lo que muestra es el esqueleto del razonamiento, dejando claro que la conclusión no es inventada ni surge de la nada, sino que está sustentada en cada paso anterior.
1.- Ordenemos nuestras premisas y nuestra conclusión
P→Q Premisa
Q→R Premisa
P Premisa
⊢
R Conclusión
La funcionalidad principal de las derivaciones lógicas, es demostrar que una conclusión se sigue de sus premisas, pero, ¿por qué no hacemos una tabla de verdad?, esto porque la derivación lógica se usa cuando quieres mostrar paso a paso cómo se llega a una conclusión, como si fuéramos a explicar el razonamiento en cámara lenta. En cambio, la tabla de verdad revisa todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para las proposiciones, y te dice si el argumento es válido o no, pero no muestra cómo se llega a la conclusión, sólo si es siempre verdadera. La derivación nos muestra solidez, las tablas nos muestran validez.
Ahora siguiendo con nuestro ejemplo, nuestra conclusión es R, en una tabla de verdad podemos analizar si R es o no es verdadera, pero lo que nos importa en esta ocasión no es saber eso, sino saber cómo llegamos a R, para esto necesitamos entender las "Reglas de inferencia", intentemos derivar nuestro ejemplo.
2.- Enlistar nuestras premisas
Para poder llevar un orden en nuestra derivación, se recomienda enumerar todas nuestras premisas, de este modo, cuando apliquemos las reglas de inferencia, podremos fácilmente demostrar gracias a que pasos estamos obteniendo nuestros resultados, así cada paso añadiendo 1 mas a nuestra lista. Para esto, no se toma en cuenta la conclusión.
1.- P→Q Pr.
2.- Q→R Pr.
3.- P Pr.
3.- Aplicar las reglas de inferencia
Para este paso debemos de ir en orden, el objetivo de la derivación lógica es llegar con nuestras premisas a nuestra conclusión, por lo que debemos de analizar qué regla de inferencia nos podrá guiar, así como en el siguiente ejemplo:
1.- P→Q Pr.
2.- Q→R Pr.
3.- P Pr.
4.- Q MP 1,3
5.- R MP 4,2
¿Qué fue lo que hicimos aquí? Aplicamos las reglas de inferencia (las cuales vienen a continuación), cada vez que se realiza una regla, se añade un nuevo paso, y se coloca el resultado de nuestra regla de inferencia, en este caso, originalmente nuestras premisas solo son 3 puntos diferentes, pero entre el punto 1 y 3 se puede aplicar la regla de inferencia conocida como Modus Ponens, el cual lo abreviamos como "MP", y posteriormente se coloca la justificación, la cual está colocada entre todos los puntos que se usaron para realizarla, si para la misma regla se usan 3 o mas puntos, se pueden enlistar de no ser consecutivos (pj: 1,2,4,6) o darles un rango en caso de ser consecutivos (pj: 1-5).
Con esto ahora podemos ver, que entre nuestro punto 2 y nuestro punto 4, podemos volver a aplicar la misma regla para obtener R.
Una vez explicada la nomenclatura y grafica que vamos a seguir, a continuación los dejo con las reglas de inferencia.
REGLAS DE INFERENCIA
Reglas de inferencia — más importantes y comunes:
Modus Ponens (MP):
p → q, p ⊢ q
Esta regla nos dice que, Si P implica a Q, y esto es verdadero, si P es verdadero, entonces Q es verdadero, por lo que Q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una implicación material, recordemos que, es suficiente con que P sea verdadera, para que Q también lo sea, por ello, en todo escenario donde la implicación sea verdadera, y P sea verdadera, Q también lo es.
Modus Tollens (MT):
p → q, ¬q ⊢ ¬p
Esta regla nos dice que, Si P implica Q, y esto es verdadero, si Q es falso, entonces P es falso, por lo que ¬P queda derivada. No confundir con p → q, ¬p ⊢ ¬q, esto no es una regla de inferencia, contrariamente, es una falacia. Esta regla nos dice que, Si P implica Q, y esto es verdadero, si Q es falso, entonces P es falso, por lo que ¬P queda derivada. No confundir con p → q, ¬p ⊢ ¬q, esto no es una regla de inferencia, contrariamente, es una falacia. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos de igual forma a la implicación material, puesto que, si planteamos que la implicación completa es verdadera, pero también es el caso que Q es falsa, es suficiente con que esta sea falsa, para que P también lo sea; es importante diferenciarlo del caso falaz “p → q, ¬p ⊢ ¬q”, ya que aquí se está cometiendo una falacia de petición de principio, en la cual estamos diciendo que, si nuestra premisa P es falsa, eso es suficiente para Q también lo sea, situación que argumentalmente no tiene sentido.
Silogismo Hipotético (SH):
p → q, q → r ⊢ p → r
Esta regla nos dice que si P implica Q, y Q a su vez implica R, y ambas son verdaderas, entonces P es la causa primera de Q, lo que P→ Q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si lo vemos como una cadena de eventos, donde el último evento siempre se va a dar (no exclusivamente) cuando el primer evento se de, es igualmente correcto añadir más implicaciones si hacer el silogismo hipotético, por ejemplo si tuviésemos como premisa a parte R→S, S→T sabemos que es correcto derivar P→T.
Silogismo Disyuntivo (SD):
p ∨ q, ¬p ⊢ q
Esta regla nos dice que si P o Q es verdadera como disyunción, y P es falsa, por lo tanto, Q es verdadera, por lo que Q queda derivada, esto mismo aplica al revés, donde p ∨ q, ¬q ⊢ p. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona la disyunción, puesto que, para que una disyunción sea verdadera, es suficiente que al menos una de las proposiciones sea verdadera, para que la disyunción completa lo sea, por lo que, de ser el caso que si P o Q son falsas, si la disyunción es verdadera, entonces la otra proposición será verdadera.
Conjunción (Con):
p, q ⊢ p ∧ q
Esta regla nos dice que si P es verdadero y Q es verdadero, entonces es válido afirmar que "P y Q" es verdadero, por lo que p ∧ q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una conjunción, ya que para que esta sea verdadera es necesario que ambas proposiciones lo sean; por ello, si ya sabemos que P es verdadera y que Q también lo es, no hay duda de que su conjunción también lo será.
Simplificación (Sim):
p ∧ q ⊢ p
Esta regla nos dice que si "P y Q" es verdadero, entonces P es verdadero, por lo que P queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos que en una conjunción ambas proposiciones deben ser verdaderas para que la conjunción sea verdadera, por lo que, si sabemos que p ∧ q es verdadero, entonces necesariamente P lo es, ya que de lo contrario la conjunción completa no podría ser verdadera. De la misma forma es posible derivar Q si se necesitara.
Adición (Ad):
p ⊢ p ∨ q
Esta regla nos dice que si P es verdadero, es válido afirmar que "P o Q" es verdadero, por lo que p ∨ q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una disyunción, ya que para que esta sea verdadera es suficiente con que al menos una de las proposiciones lo sea; por lo tanto, si sabemos que P es verdadera, la disyunción completa será verdadera sin importar el valor de verdad de Q.