Identificar una disyunción Exclusiva
La “Disyunción exclusiva” en lógica, es un símbolo que utilizamos para expresar oraciones que en el “lenguaje natural” podemos ubicar en nexos cómo “O…o…”. Y en lo general, en cualquier otra oración que exprese dos opciones que no pueden ser verdaderas de manera simultánea.
No te dejes engañar, no todo lo que exprese 2 opciones es una disyunción exclusiva, también existen las disyunciones inclusivas, a veces pueden ser un tanto confusas de identificar, es por ello que siempre debemos prestar una especial atención a la forma que se nos dan en las opciones, puesto que en la disyunción inclusiva puede ser verdadera una o más proposiciones, situación totalmente contraria a la disyunción exclusiva, donde solo una opción puede ser verdadera.
Por ejemplo:
En la oración “O es de día, o es de noche” aunque resulte un tanto obvia, nos puede ayudar a expresar situaciones donde se presentan 2 opciones, que simultáneamente no se pueden dar, de menos en una misma locación en el mundo, no puede estar lloviendo y no lloviendo al mismo tiempo. Si lo convertimos a proposiciones atómicas, obtenemos “Es de día” y “Es de noche”, las cuales están unidas con un nexo “O… O…”.
Así, hemos logrado convertir nuestra oración original en una fórmula lógica, donde obtenemos que: O “Es de dia (P)” o (⊻), “Es de noche”, ó (P ⊻ Q).
Es crucial enfatizar, que muchas veces, una disyunción exclusiva va a depender fuertemente del contexto de la oración y que tan rígidos queramos ser con el lenguaje, pues hay escenarios donde en realidad no hay por qué limitarnos a una u otra opción, en cambio, existen ocasiones donde por requerimiento, o por normativa, va a ser así, es por ello que es importante no perder el contexto de lo que se está pidiendo.
Por ejemplo:
- Recordando brevemente los desayunos en los restaurantes, si se nos preguntasen acerca de con qué queremos acompañar nuestro desayuno, si con un café o un jugo, no podemos pedir ambas, pese a que en la realidad es posible decir “ambas”, esto es algo que se nos va a restringir en escenarios como estos, que dado el contexto, no se permiten más de 2 opciones. Es así que, aunque tengamos una situación que en términos debería de ser (P v Q), dadas las especificaciones de este escenario concreto, tenemos (P ⊻ Q) ó “O elijo jugo, o elijo café”
-O es de día o es de noche ≠ Es de día o es de noche.
-O tomas café o tomas jugo = O tomas jugo o tomas café.
-(P ⊻ Q) ≠ (P v Q).
Tabla de verdad de la disyunción inclusiva
Una vez comprendida la forma en la que se organiza una tabla de verdad (Ver: Estructura de una tabla de verdad), es importante comprender por qué cada símbolo lógico tiene distintas interacciones con las tablas de verdad.
Como siempre, en una fórmula lógica de 2 proposiciones y 1 símbolo lógico, tendremos 4 posibles escenarios:
- Escenario 1: P es verdadera y Q es verdadera.
- Escenario 2: P es verdadera y Q es falsa.
- Escenario 3: P es falsa y Q es verdadera.
- Escenario 4: P es falsa y Q es falsa.
Para estudiar la disyunción exclusiva debemos antes comprender un par de conceptos clave en la lógica. La primera es la “necesidad”, la cual podemos definirla como una condición que debe de cumplirse para que otra también pueda cumplirse, de modo que, una condición X es necesaria para que Y sea verdadero, sin X, Y no puede ocurrir, es decir, Y no puede ser cierto si X no lo es.
El otro concepto que debemos de entender es la “suficiencia”, Una condición X es suficiente para que Y sea verdadero, siempre que X sea cierto, Y también lo es. Es X garantiza Y.
Si sientes que esto fue algo complicado, no te preocupes, a continuación te planteamos esta misma información aplicada al tema central. Analicemos cómo estos valores de verdad se ven afectados cuando hay una disyunción exclusiva de por medio:
- Caso 1: V ⊻ V
En una tabla de verdad, cuando P es verdadera y Q es verdadera, la disyunción exclusiva será FALSA, esto debido a que la relación de necesidad se rompe. Es necesario que únicamente una premisa sea verdadera, para que toda la disyunción lo sea. Apliquémoslo a un ejemplo.
Usemos un ejemplo como el que hemos usado con anterioridad, “O la lámpara está encendida, o la lámpara está apagada”, donde “P= La lámpara está encendida” y “Q= La lámpara está apagada”, suponiendo que ambas proposiciones son verdaderas, la disyunción completa será falsa, únicamente por el hecho de que son situaciones que no se pueden dar mutuamente en el mismo sentido, la misma lámpara no puede estar apagada y encendida en la realidad, por lo cual, la oración (P ⊻ Q), si ambas proposiciones son verdaderas, se vuelve un sin sentido.
- Caso 2: V ⊻ F
En una tabla de verdad, cuando P es verdadera y Q es falsa, la disyunción exclusiva será VERDADERA, esto debido a que la relación de necesidad se sigue conservando. Es necesario que solo una premisa sea verdadera, para que toda la disyunción lo sea.
Usemos el ejemplo anterior, “La lámpara está encendida o la lámpara está apagada”, esta oración igualmente puede sonar bastante obvia, la lámpara siempre va a estar o prendida o apagada, en cambio, nos permite apreciar cómo resulta coherente plantearnos en este caso que es verdadero que la lámpara está prendida, mientras que es falso que la lámpara está apagada (P ⊻ Q).
- Caso 3: F ⊻ V
En una tabla de verdad cuando P es falsa y Q es verdadera, la disyunción exclusiva será VERDADERA, esto debido a que la relación de necesidad se sigue conservando. Es necesario que únicamente una sola premisa sea verdadera para que toda la disyunción lo sea.
Continuemos con el ejemplo anterior, pero en este tercer caso, suponiendo que los valores de verdad han sido invertidos. Así obteniendo que “O la lámpara está prendida o está apagada”, donde es falso que está prendida y es verdadero que está apagada, una vez más, aunque resulte obvio, puesto que no puede estar apagada y prendida simultáneamente. Este tipo de ejemplos nos ayudan a apreciar la diferencia entre una disyunción exclusiva y una inclusiva, puesto que en una disyuntiva existe una situación donde sería verdadero que una lámpara puede estar prendida o apagada, y ambas al mismo tiempo, situación que es imposible en la disyunción exclusiva.
- Caso 3: F ⊻ F
En una tabla de verdad cuando P es falsa y Q es falsa , la disyunción exclusiva será FALSA, esto debido a que la relación de necesidad se pierde. Es necesario que únicamente una sola premisa sea verdadera para que toda la disyunción lo sea, en este caso, no tenemos ninguna que sea verdadera.
Finalicemos con el ejemplo anterior una vez más, pero en este último caso, suponiendo que los valores de verdad son falsos en ambas premisas. Así obteniendo que “O la lámpara está prendida o está apagada”, donde es falso que está prendida e igualmente está apagada, una vez más, ¿cómo algo puede no estar ni prendido y apagado? ¿cuál sería un tercer escenario donde una lámpara no está ni prendida ni apagada sino todo lo contrario? No existe un escenario en el que esto sea posible, por lo que, al igual que en el primer escenario, esto es un sin sentido, y por ello (P ⊻ Q) donde tanto P como Q son falsos, nos da que la disyunción es falsa.
